直线y=-x+b与双曲线y=kx相交于点D(-4,1)、C(1,m),并分别与坐标轴交于A、B两点,过点C作直线MN⊥x轴于F点,连接BF.(1)求直线和双曲线的解析式;(2)求∠BCF的度数;(3)设直线-数学

题文

直线y=-x+b与双曲线y=
k
x
相交于点D(-4,1)、C(1,m),并分别与坐标轴交于A、B两点,过点C作直线MN⊥x轴于F点,连接BF.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)求∠BCF的度数;
(3)设直线MN上有一动点P,过P作直线PE⊥AB,垂足为E,直线PE与x轴相交于点H.当P点在直线MN上移动时,是否存在这样的P点,使以A、P、H为顶点的三角形与△FBC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)∵直线y=-x+b与双曲线y=
k
x
相交于点D(-4,1),
∴1=4+b,解得b=-3;
1=
k
-4
,解得k=-4.
∴直线解析式为y=-x-3,双曲线解析式为y=-
4
x


(2)∵点C(1,m)在反比例函数y=-
4
x
上,
∴m=-
4
1
=-4,
∴C(1,-4).
由点A(-3,0)、C(1,-4)得:AF=CF=4,即△AFC是等腰直角三角形,∠BCF=45°;

(3)①如图1,当点P在x轴下方时,∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°;
在Rt△FPH中,设FH=FP=x,则PH=

2
x,AH=AF+FH=4+x;
由B(0,-3)、C(1,-4)知:BC=

2
,CF=4;
若△APH∽△HBC,那么
PH
BC
=
AH
CF
,则有:

2
x

2
=
4+x
4

解得:x=
4
3
,即 P(1,-
4
3
);
②如图2,当点P在x轴上方时,∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°;
设FP=x,则 FH=FP=x,AH=FH-AF=x-4,PH=

2
x;
同1可得:
PH
CF
=
AH
BC
,有:

2
x
4
=
x-4

2

解得:x=8,即 P(1,8);
综上,点P的坐标为(1,-
4
3
)或(1,8).

据专家权威分析,试题“直线y=-x+b与双曲线y=kx相交于点D(-4,1)、C(1,m),并分别与坐标..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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