题文

如图，已知C、D是双曲线，y= m x 在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD． （1）求证：y1＜OC＜y1+ m y1 ； （2）若∠BOC=∠AOD=a，tana= 1 3 ，OC= 10 ，求直线CD的解析式； （3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POC=S△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y1，OG=x1．（1分） ∵点C（x1，y1）在双曲线y= m x 上， ∴x1= m y1 ∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，∴y1＜OC＜y1+ m y1 （3分） （2）在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α， tana= OG CG = 1 3 ，即 x1 y1 = 1 3 ，y1=3x1 ∵OC2=OG2+CG2，OC= 10 ， ∴10=x12+y12，即10=x12+（3x1）2 解之，得x1=±1．∵负值不合题意，∴x1=1，y1=3．∴点C的坐标为（1，3）．（4分） ∵点C在双曲线y= m x 上， ∴3= m 1 ，即m=3 ∴双曲线的解析式为y= 3 x （5分） 过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH=y2，OH=x2 在Rt△ODH中，tana= DH OH = y2 x2 = 1 3 ，即x2=3y2 又y2= 3 x2 ，则3y22=3． 解之，得y2=±1． ∵负值不合题意，∴y2=1，x2=3 ∴点D的坐标为（3，1）（6分） 设直线CD的解析式为y=kx+b． 则有 3=k+b 1=3k+b ，解得 k=-1 b=4 ． ∴直线CD的解析式为y=-x+4．（7分） （3）双曲线y= 3 x 上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点P就是 ∠COD的平分线与双曲线y= 3 x 的交点（8分） 证明如下： ∵点P在∠COD的平分线上． ∴点P到OC、OD的距离相等． 又OD= OH2+DH2 = x22+y22 = 10 =OC ∴S△POD=S△POC．（10分）

据专家权威分析，试题“如图，已知C、D是双曲线，y=mx在第一象限内的分支上的两点，直线..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。