题文

如图所示，OACB是矩形，C（a，b），点D为BC中点，反比例函数y= 4 x 的图象经过点D且交AC于点E． （1）求证：△AOE与△BOD的面积相等； （2）求证：点E是AC的中点； （3）当OE⊥DE时，试求OB2-OA2的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵E，D点都在反比例函数图象上， ∴E，D横纵坐标乘积相等， ∵△AOE为 1 2 ×AO×AE= 1 2 xy=2，△BOD的面积为： 1 2 ×BO×DB= 1 2 xy=2， ∴△AOE与△BOD的面积相等； （2）证明：∵点D为BC中点，△AOE与△BOD的面积相等，即 1 2 ×AO×AE= 1 2 ×BO×DB， ∴ 1 2 ×2BD×AE= 1 2 ×BO×DB， ∴2AE=BO， ∴点E是AC的中点； （3）∵OE⊥DE， ∴∠CED+∠AEO=90°， 又∵∠AOE+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠CDE， ∵∠OAE=∠C， ∴△AOE∽△CED， ∴ AO EC = AE CD ， ∵AE=EC，CD=BD ∴AE2=AO×CD=AO× 1 2 AO= 1 2 AO2， ∴（ BO 2 ）2= 1 2 AO2， 即BO2=2AO2，则BO= 2 AO， ∴BO×BD= 2 AO× 1 2 AO= 2 2 AO2=k=4， ∴OB2-OA2=AO2=4÷ 2 2 =4 2 ．

据专家权威分析，试题“如图所示，OACB是矩形，C（a，b），点D为BC中点，反比例函数y=4x的..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。