题文

如图，正比例函数y= 1 2 x的图象与反比例函数y= k x (k≠0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b=2a，试探究在x轴上是否存在点P，使△PAB周长最小？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵反比例函数y= k x (k≠0)在第一象限， ∴k＞0， ∵△OAM的面积为1， ∴ 1 2 k=1，解得k=2， 故反比例函数的解析式为：y= 2 x ； （2）∵点A是正比例函数y= 1 2 x与反比例函数y= 2 x 的交点，且x＞0，y＞0， ∴ y= 1 2 x y= 2 x ， 解得 x=2 y=1 ， ∴A（2，1）， ∵B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b=2a， ∴b= 2 a ， ∵b=2a， ∴a=1，b=2， ∴B（1，2）， ∵AB的距离为定值， ∴若使△PAB周长最小则PA+PB的值最小， 如图所示：作出A点关于x轴的对称点C，并连接BC，交x轴于点P，P为所求点，设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）， 令直线BC的解析式为y=mx+n，将B、C两点的坐标代入得， 2m+n=-1 m+n=2 ， 解得 m=-3 n=5 ， 故直线BC的解析式为：y=-3x+5， 当y=0时，x= 5 3 ， 则点P（ 5 3 ，0）．

据专家权威分析，试题“如图，正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。