题文

设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y， z - y =2，试求积abc的所有可能的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得 （a，b，c）=（ 1 2 (x+y)， 1 2 (x+z)， 1 2 (y+z)）（5分） 又y=x2，于是有：a= 1 2 (x+x2)，（1） b= 1 2 （x+z），（2） c= 1 2 (x2+z)，（3） 由（1）解得x= -1± 1+8a 2 （4） 因x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数，（10分） 于是，2a= T-1 2 ? T+1 2 又a是质数，故只能有 T+1 2 =a T-1 2 =2 所以T=5，a=3．（15分） 代a=3入（4）得x=2，-3 当x=2时，y=x2=4，因而有 z -2=2，z=16， 代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分） 当x=-3时，y=9， z -3=2， 所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17， 故abc=3×11×17=561．（25分）

据专家权威分析，试题“设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数