(1)探究新知:①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点。求证:△ABM与△ABN的面积相等;②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任-九年级数学
题文
(1)探究新知: ①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点。 求证:△ABM与△ABN的面积相等; |
②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点,试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由。 |
(2)结论应用: 如图③,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D,试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由。(友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论。) |
答案
解:(1)①证明:分别过点M,N作ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F, ∵AD∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD, ∴ME=NF, ∵S△ABM=,S△ABN=, ∴S△ABM=S△ABN, ②相等,理由如下: 分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.则∠DHA=∠EKB=90°, ∵AD∥BE, ∴∠DAH=∠EBK, ∵AD=BE, ∴△DAH≌△EBK, ∴DH=EK, ∵CD∥AB∥EF, ∴S△ABM=,S△ABG=, ∴S△ABM= S△ABG; |
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(2)答:存在, 解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为, 又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得, ∴该抛物线的表达式为,即, ∴D点坐标为(0,3), 设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得k=-1, ∴直线AD的表达式为, 过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H,则H点的纵坐标为-1+3=2, ∴CH=CG-HG=4-2=2, 设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为, 过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为3-m,EF∥CG, 由(1)可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等, ①若E点在直线AD的上方(如图③-1), 则PF=3-m,EF=, ∴EP=EF-PF==, ∴, 解得,, 当m=2时,PF=3-2=1,EF=1+2=3, ∴E点坐标为(2,3), 同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合, ②若E点在直线AD的下方(如图③-2,③-3), 则, ∴, 解得,, 当时,E点的纵坐标为; 当时,E点的纵坐标为, ∴在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;。 |
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