题文

如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，D是底边BC上的一点； （1）在AC上取一点E，画△ADE，使∠ADE=∠AED=50°，∠2=20°，求∠1的度数； （2）如图①，将题（1）中的条件“使∠ADE=∠AED=50°，∠2=20°”改为“∠ADE=∠AED”，试猜想：∠1与∠2的数量关系，并说明理由； （3）如图②，延长AD到F，连结BF、FC，使∠ABF=∠AFB，∠AFC=∠ACF，试猜想：∠1与∠2、∠3与∠4之间的关系，并选其中一个进行证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵∠AED=∠2+∠C，∠ADE=∠AED=50°，∠2=20°， ∴∠C=30°，∠DAC=180°-∠ADE-∠AED=80°， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=30° ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°， ∴∠1=∠BAC-∠DAC=120°-80°=40°； （2）∵∠2+∠ACB=∠AED，∠1+∠B=∠2+∠ADE，∠ADE=∠AED， ∴∠2+∠ACB=∠1+∠B-∠2， ∵∠B=∠ACB， ∴∠2=∠1-∠2， ∴∠1=2∠2； （3）∠3=2∠4，∠1=2∠2， 证明：如图2，∵∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠AFC=∠ACF，∠ABC=∠ACB， ∴∠ACF= 1 2 （180°-∠FAC）=90°- 1 2 ∠3，∠ACB= 1 2 （180°-∠BAC）=90°- 1 2 （∠1+∠3）， ∴∠2=∠ACF-∠ACB=（90°- 1 2 ∠3）-（90°- 1 2 ∠1- 1 2 ∠3）= 1 2 ∠1， 即∠1=2∠2．

据专家权威分析，试题“如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，D是底边BC上的一点；（1）在AC上取一点..”主要考查你对  三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。