题文

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA= 10 ，点B的坐标为（m，-2），tan∠AOC= 1 3 ． （1）求反比例函数、一次函数的解析式； （2）求三角形ABO的面积； （3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过A作AE⊥x轴于E， tan∠AOE= 1 3 ， ∴OE=3AE， ∵OA= 10 ，由勾股定理得：OE2+AE2=10， 解得：AE=1，OE=3， ∴A的坐标为（3，1）， ∵A点在双曲线上y= k x 上， ∴1= k 3 ， ∴k=3， ∴双曲线的解析式y= 3 x ； ∵B（m，-2）在双曲y= 3 x 上， ∴-2= 3 m ， 解得：m=- 3 2 ， ∴B的坐标是（- 3 2 ，-2）， 代入一次函数的解析式得： 3a+b=1 - 3 2 a+b=-2 ， 解得： a= 2 3 b=-1 ， 则一次函数的解析式为：y= 2 3 x-1； （2）连接BO， ∵一次函数的解析式为：y= 2 3 x-1； ∴D（0，-1）， ∴S△AOB=S△AOD+S△BOD= 1 2 ×DO×3+ 1 2 ×DO× 3 2 = 1 2 ×1×3+ 1 2 ×1× 3 2 = 9 4 ； （3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P， ∵C，D两点在直线y= 2 3 x-1上， ∴C，D的坐标分别是：C（ 3 2 ，0），D（0，-1）． 即：OC= 3 2 ，OD=1， ∴DC= 13 2 ． ∵△PDC∽△CDO， ∴ PD DC = DC DO ， ∴PD= DC2 OD ， 又∵OP=DP-OD= 13 4 -1= 9 4 ， ∴P点坐标为（0， 9 4 ）．

据专家权威分析，试题“如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。