如图,矩形ABCD(点A在第一象限)与x轴的正半轴相交于M,与y的负半轴相交于N,AB∥x轴,反比例函数的图象y=kx过A、C两点,直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F.(1)若B(-3,3)-数学

题文

如图,矩形ABCD(点A在第一象限)与x轴的正半轴相交于M,与y的负半轴相交于N,AB∥x轴,反比例函数的图象y=
k
x
过A、C两点,直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F.
(1)若B(-3,3),直线AC的解析式为y=ax+b.
①求a的值;
②连接OA、OC,若△OAC的面积记为S△OAC,△ABC的面积记为S△ABC,记S=S△ABC-S△OAC,问S是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.
(2)AE与CF是否相等?请证明你的结论.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)①∵四边形ABCD是矩形,且AB∥x轴,B(-3,3),
∴A(
k
3
,3)、C(-3,-
k
3
).
∵y=ax+b经过A、C两点,

k
3
a+b=3
-3a+b=-
k
3
,消去b得:(
k
3
+3)a=
k
3
+3.
∵k>0,故
k
3
+3≠0,∴a=1.
②S=S△ABC-S△OAC=S△ACD-S△OAC=S△AOM+S△CON+S矩形ONDM
∴S=
k
2
+
k
2
+
k2
9
=
1
9
(k+
9
2
2-
9
4

∴当k>-
9
2
时,S随k的增大而增大,
由于k>0,故k没有最小值,S也没有最小值.

(2)AE=CF,理由如下:
连接MN,设AB与y轴的交点为P,BC与x轴的交点为Q;
则S矩形APOM=S矩形CQON=k,
∴DN?AD=DM?CD,即
DN
CD
=
DM
AD

又∵∠D=∠D,
∴△DNM∽△DCA,得∠DNM=∠DCA,
∴MN∥AC;
又∵AD∥y轴,故四边形AFNM是平行四边形,
同理四边形CNME是平行四边形,
∴CE=MN=AF,故AE=CF.

据专家权威分析,试题“如图,矩形ABCD(点A在第一象限)与x轴的正半轴相交于M,与y的负半..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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