题文

如图，在平面直角坐标系中，函数y=x与反比例函数y= 16 x （x＞0）的图象相交于点P，以P为顶点作45°的角，角的两边分别交坐标轴于A，B，C，D．连结AB，CD． （1）求OP的长； （2）若点C（-6，0），求D点的坐标； （3）△OAB的周长是否变化？若不变化，试求出△OAB的周长；若变化，请说明理由； （4）当OP⊥AB时：①求证：OP⊥CD；②求△OAB的面积．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图， 解方程组 y=x y= 16 x 得 x=4 y=4 或 x=-4 y=-4 （x＞0，舍去）， ∴P点坐标为（4，4）， ∴OP= 42+42 =4 2 ； （2）设直线PC的解析式为y=kx+b， 把C（-6，0）和P（4，4）代入得 -6k+b=0 4k+b=4 ，解得 k= 2 5 b= 12 5 ， ∴直线PC的解析式为y= 2 5 x+ 12 5 ， ∴A点坐标为（0， 12 5 ）， ∴AF=OF-OA= 8 5 ， 把△PAF绕点P逆时针旋转90°得到△PGE， ∴∠PEG=∠PFA=90°，EG=FA，∠APG=90°，PA=PG， 而∠PEO=90°， ∴点O、E、G点共线， ∴BG=BE+EG=BE+AF， ∵∠APB=45°， ∴∠BPG=45°， 在△PBA和△PBE中 PA=PG ∠APB=∠GPB PB=PB ， ∴△PBA≌△PBE（SAS）， ∴AB=BG=AF+BE， 设OB=t，则BE=4-t，AB= 8 5 +4-t= 28 5 -t， 在Rt△OAB中，∵OA2+OB2=AB2， ∴（ 12 5 ）2+t2=（ 28 5 -t）2，解得t= 16 7 ， ∴OB= 16 7 ， ∵OB∥PF， ∴△DOB∽△DFP， ∴ OD DF = OB PF ，即 OD OD+4 = 16 7 4 ，解得OD= 16 3 ， ∴D点坐标为（0，- 16 3 ）； （3）△OAB的周长不变化，其周长为8． 由（2）得到AB=BG=AF+BE， ∴△OAB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=4+4=8； （4）①证明：OP⊥AB于H，如图， ∵OP平分∠AOB， ∴OH垂直平分AB， ∴OA=OB，PA=PB， ∴OP平分∠APB，即∠APO=∠BPO， ∵∠POC=∠POA+∠AOC=135°， ∠POD=∠POB+∠BOD=135°， ∴∠POC=∠POD， 在△POC和△POB中 ∠CPO=∠DPO PO=PO ∠POC=∠POD ， ∴△POC≌△POB（ASA）， ∴OC=OD， ∵PO平分∠COD， ∴PO⊥CD； ②∵∠APO=∠BPO，∠APB=45°， ∴∠APO=∠BPO=22.5°， 而∠OPE=45°， ∴∠HPB=∠BPE=22.5°， 在△BHP和△BEP中 ∠PHB=∠PEB ∠HPB=∠EPB PB=PB ， ∴△BHP≌△BEP（AAS）， ∴PH=PE=4， ∵OP=4 2 ， ∴OH=4 2 -4=4（ 2 -1） ∴AB=2OH=8（ 2 -1）， ∴△OAB的面积= 1 2 ×4（ 2 -1）×8（ 2 -1）=48-32 2 ．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，函数y=x与反比例函数y=16x（x＞0）的图象..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。