题文

如图，直线y= 1 5 x-1与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线y= k x (x＞0)上的一点，且△AMB是以AB为底的等腰直角三角形． （1）求A、B两点坐标； （2）过M点作MC⊥x轴，MD⊥y轴，垂足分别为C、D；求证：△AMD≌△BMC； （3）求k值； （4）问双曲线上是否存在一点Q，使 S△OBQ S△AOQ = 5 4 ？若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵直线y= 1 5 x-1与x轴，y轴分别相交于B、A， ∴当x=0时，y=-1；当y=0时，x=5， ∴A点坐标的坐标为（0，-1），B点坐标为（5，0）； （2）∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形， ∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°， ∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°， ∴∠MAD+∠OBA=45°， ∵∠MBC+∠OBA=45°， ∴∠MAD=∠MBC， ∵MC⊥x轴，MD⊥y轴， ∴∠ADM=∠BCM=90°， 在△AMD和△BMC中， ∠MAD=∠MBC ∠ADM=∠BCM AM=BM ， ∴△AMD≌△BMC（AAS）； （3）∵MC⊥x轴，MD⊥y轴， ∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°， ∴四边形OCMD是矩形， ∵△AMD≌△BMC， ∴AD=BC，DM=CM， ∴四边形OCMD是正方形， ∴OC=OD， ∵OA=1，OB=5， 设OD=x， 则AD=x+1，BC=5-x， ∵AD=BC， ∴x+1=5-x， 解得：x=2， 即OD=OC=2， ∴点M的坐标为：（2，2）， ∴k=xy=4； （4）存在． ∵k=4， ∴反比例函数的解析式为：y= 4 x ， 设Q点的坐标为：（a， 4 a ）， ∴S△OBQ= 1 2 ?OB? 4 a = 1 2 ×5× 4 a = 10 a ，S△AOQ= 1 2 ?OA?a= 1 2 ×1×a= 1 2 a， ∵ S△OBQ S△AOQ = 5 4 ， ∴4S△OBQ=5S△AOQ， 即4× 10 a =5× 1 2 a， 解得：a=±4， ∵a＞0， ∴a=4， ∴Q点的坐标为（4，1）．

据专家权威分析，试题“如图，直线y=15x-1与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线y=kx(x..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。