题文

如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）． （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=- 1 2 x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标； （3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设反比例函数的解析式y= k x ， ∵反比例函数的图象过点E（3，4）， ∴4= k 3 ，即k=12． ∴反比例函数的解析式y= 12 x ； （2）∵正方形AOCB的边长为4， ∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴点D的纵坐标为3，即D（4，3）． ∵点D在直线y=- 1 2 x+b上， ∴3=- 1 2 ×4+b，解得b=5． ∴直线DF为y=- 1 2 x+5， 将y=4代入y=- 1 2 x+5，得4=- 1 2 x+5，解得x=2． ∴点F的坐标为（2，4）． （3）∠AOF= 1 2 ∠EOC． 证明：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H． ∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2， ∴△OAF≌△OCG（SAS）． ∴∠AOF=∠COG． ∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2， ∴△EGB≌△HGC（ASA）． ∴EG=HG． 设直线EG：y=mx+n， ∵E（3，4），G（4，2）， ∴ 4=3m+n 2=4m+n ，解得， m=-2 n=10 ． ∴直线EG：y=-2x+10． 令y=-2x+10=0，得x=5． ∴H（5，0），OH=5． 在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5． ∴OH=OE． ∴OG是等腰三角形底边EH上的中线． ∴OG是等腰三角形顶角的平分线． ∴∠EOG=∠GOH． ∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF= 1 2 ∠EOC．

据专家权威分析，试题“如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。