如图,已知直线y=4-x与反比例函数y=mx(m>0,x>0)的图象交于A,B两点,与x轴,y轴分别相交于C,D两点.(1)如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4-x<mx的解集;(2)-数学

题文

如图,已知直线y=4-x与反比例函数y=
m
x
(m>0,x>0)的图象交于A,B两点,与x轴,y轴分别相交于C,D两点.
(1)如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4-x<
m
x
的解集;
(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)将x=1代入直线y=4-x得,y=4-1=3,
则A点坐标为(1,3),
将A(1,3)代入y=
m
x
(m>0,x>0)得,
m=3,
则反比例函数解析式为y=
3
x

组成方程组得

y=
3
x
y=4-x

解得,y=1,x=3,则B点坐标为(3,1).
当不等式4-x<
m
x
时,0<x<1或x>3.

(2)存在.
点A、B在直线y=4-x上,则可设A(a,4-a),B(b,4-b).
如右图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,则AD=4-a,PD=1-a;
过点B作BE⊥x轴于点E,则BE=4-b,PE=b-1.
∵点P在以AB为直径的圆上,
∴∠APB=90°(圆周角定理).
易证Rt△ADP∽Rt△PEB,
AD
PE
=
PD
BE
,即
4-a
b-1
=
1-a
4-b

整理得:5(a+b)-2ab=17 ①
∵点A、B在双曲线y=
m
x
上,
∴a(4-a)=m,b(4-b)=m,
∴a2-4a+m=0,b2-4b+m=0,
∴a、b是一元二次方程x2-4x+m=0的两个根,
∴a+b=4,ab=m.
代入①式得:5×4-2m=17,
解得:m=
3
2

∴存在以AB为直径的圆经过点P(1,0),此时m=
3
2

据专家权威分析,试题“如图,已知直线y=4-x与反比例函数y=mx(m>0,x>0)的图象交于A,B两..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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