题文

给出如下n个平方数：12，22，…，n2，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为L． （1）当n=8时，试设计一种可行方案使得|L|最小； （2）当n=2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当L=12-22-32+42-52+62+72-82=0 或L=-12+22+32-42+52-62-72+82=0时，|L|最小且最小值为0； （2）当n=2005时， ①∵给定的2005个数中有1003个奇数， ∴不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数， ∴所求的最终代数和大于等于1． 于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案． ②∵k2-（k+1）2-（k+2）2+（k+3）3=4，-k2+（k+1）2+（k+2）2-（k+3）3=-4， ∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0； ③若对62，72，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，…，52进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1． ④在对12，22，…，52的设计过程中，有一种方案：-12+22-32+42-52=-15， 又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4， ∴16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16． 综上，可行方案为： 首先对222，232，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，…，212，根据③适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为16；最后对12，22，…，52作-12+22-32+42-52=-15设置，便可以使得给定的2005个数的代数和为1，即|L|最小．

据专家权威分析，试题“给出如下n个平方数：12，22，…，n2，规定可以在其中的每个数前任意..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数