题文

对于素数p，q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p=______q=______

题型：填空题  难度：中档

答案

将方程x4-px3+q=0移项，得 x4+q=px3． 可见，x4≥0，则x4+q＞0， 所以px3＞0， 即x＞0， 本题也就是要求出使方程x4-px3+q=0有正整数解的素数p、q； 且素数p必定是奇素数，否则是偶素数的话， 那么p=2， 则方程成为：x4+q=2x3， 即q=2x3-x4=x3×（2-x）＞0， 得出2-x＞0， 即x＜2， 则只能是x=1， 代入方程：14+q=2×13， 即1+q=2，解得q=1，不是素数，故p必定是奇素数． 分两种情形讨论： 情形一：当x为偶数时，设为x=2n， 则有（2n）4+q=p×（2n）3， 16n4+q=p×8n3， 上式右端是偶数，则左端的q必须为偶数， 否则：左端奇偶相加得奇，不符． 而q作为素数，唯一的偶素数就是2，即q=2， 则上式成为 16n4+2=p×8n3， 两边同时除以2，得：8n4+1=p×4n3， 显然，左端奇偶相加得奇，但右端为偶，矛盾． 所以方程无偶整数解； 情形二：当x为奇数时，设为x=2n-1，则有（2n-1）4+q=p×（2n-1）3， 观察上式，右端为奇，则左端也必须为奇，而（2n-1）4是奇，所以得出q必须为偶，故素数q=2， 上式成为：（2n-1）4+2=p×（2n-1）3， 整理成：p（2n-1）3-（2n-1）^4=（2n-1）3×[p-（2n-1）]=1×2， 由于（2n-1）3为奇， 所以必有：（2n-1）3=1， 解得：n=1； 则：[p-（2n-1）]=2， 解得：p=3； 综上，对于素数p、q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p、q分别为3和2． 故答案为：p=3，q=2．

据专家权威分析，试题“对于素数p，q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p=______q=______-数学..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数