题文

几何基础问题 小明遇到这样一道题：如图，已知OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分线，射线OP在∠AOC内部，若要使∠AOP与∠MON相等，则OP应满足什么条件？聪明的小明想到用具体角度入手来解决这个问题．他假设∠AOB=70°，∠BOC=50°；不久他就解决了这个问题． （1）在小明的假设下（∠AOB=70°，∠BOC=50°；）请你算一算∠MON是多少度？与∠AOC有什么关系？ （2）如果∠AOB、∠BOC的度数发生了变化，∠MON与∠AOC的关系将如何变化？ （3）若要使∠AOP与∠MON相等，则OP应满足什么条件？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分线， ∴∠MOB= 1 2 ∠AOB，∠BON= 1 2 ∠BOC， ∴∠MOB+∠BON= 1 2 （∠AOB+∠BOC）， ∴∠MON= 1 2 ∠AOC， ∵∠AOB=70°，∠BOC=50°， ∴∠AOC=70°+50°=120°，∠MON= 1 2 ×120°=60°； 答：∠MON是60度，等于∠AOC的一半； （2））∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分线， ∴∠MOB= 1 2 ∠AOB，∠BON= 1 2 ∠BOC， ∴∠MOB+∠BON= 1 2 （∠AOB+∠BOC）， ∴∠MON= 1 2 ∠AOC， 答：如果∠AOB、∠BOC的度数发生了变化，∠MON仍然等于∠AOC的一半； （3）∵∠MON= 1 2 ∠AOC， ∴当OP平分∠AOC时，∠AOP与∠MON相等．

据专家权威分析，试题“几何基础问题小明遇到这样一道题：如图，已知OM，ON是∠AOB、∠BOC的..”主要考查你对  角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。