题文

已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数 （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α ∴∠CBA+∠ACB=180°-∠BAC=180°-α ∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180° ∴∠MBC+∠NGB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-（180°-α）=180°+α ∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN ∴∠PBC= 1 2 ∠MBC，∠PCB= 1 2 ∠NCB ∴∠PBC+∠PCB= 1 2 ∠MBC+ 1 2 ∠NCB= 1 2 （180°+α）=90°+ 1 2 α ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180° ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°+ 1 2 α）=90°- 1 2 α ∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角 ∴∠MBC=α+β ∵BP平分∠MBC ∴∠MBP= 1 2 ∠MBC= 1 2 （α+β） ∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC ∴∠BAP= 1 2 α，∠MBP=∠BAP+∠APB ∴∠PBD=90°-∠APB=90°-（∠MBP-∠BAP）=90°-∠MBP+∠BAP=90°- 1 2 （α+β）+ 1 2 α=90°- 1 2 β； （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化， ∠BPC=90°+ 1 2 α；∠PBD= β 2 ．

据专家权威分析，试题“已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP..”主要考查你对  三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理