题文

已知：如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，记∠ACB-∠ABC=α，AD为△ABC的角平分线，M为DC上一点，ME与AD所在直线垂直，垂足为E． （1）用α的代数式表示∠DME的值； （2）若点M在射线BC上运动（不与点D重合），其它条件不变，∠DME的大小是否随点M位置的变化而变化？请画出图形，给出你的结论，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）解法一：作直线EM交AB于点F，交AC的延长线于点G．（见图1） ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2．（1分） ∵ME⊥AD， ∴∠AEF=∠AEG=90° ∴∠3=∠G． ∵∠3=∠B+∠DME， ∴∠ACB=∠G+∠GMC=∠G+∠DME， ∴∠B+∠DME=∠ACB-∠DME． ∴∠DME= 1 2 （∠ACB-∠B）= α 2 ；（2分） 解法二：如图2（不添加辅助线）， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2．（1分） ∵ME⊥AD， ∴∠DEM=90°，∠ADC+∠DME=90°． ∵∠ADB=∠2+∠C=90°+∠DME， ∴∠DME=∠2+∠C-90°． ∵∠ADC=∠1+∠B， ∴∠1=∠ADC-∠B． ∴∠DME=∠1+∠C-90°=（∠ADC-∠B）+∠C-90° =∠C-∠B-（90°-∠ADC）=∠C-∠B-∠DME ∴∠DME= 1 2 （∠C-∠B）= α 2 ；（2分） （2）如图3和图4，点M在射线BC上运动（不与点D重合）时，∠DME的大小不变．（点M运动到点B和点C时同理） 证法一：设点M运动到M′，过点M′作M′E′⊥AD于点E′ ∵M′E′⊥AD， ∴ME∥M′E′． ∴∠DM′E′=∠DME= α 2 ．（4分） 证法二：图3与图4中分别与第（1）问同理可证．

据专家权威分析，试题“已知：如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，记∠ACB-∠ABC=α，AD为△ABC的角平分..”主要考查你对  三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。