题文

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y= k x 也经过A点． （1）求点A坐标； （2）求k的值； （3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）作AD⊥x轴于D ∵△AOB为等腰直角三角形 ∴OD=AD=BD 设A（a，a）， 则a=3a-4， 解得a=2 ∴点A（2，2）； （2）又点A在y= k x 上， ∴k=4，反比列函数为y= 4 x ； （3）存在． 设M（m，n） ∵∠PAM=∠OAB=90° ∴∠OAP=∠BAM ∵OA=ABAP=AM ∴△OAP≌△BAM ∴∠ABM=∠AOP=45° ∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴 ∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2） ∴OB=4 ∵点M在y= 4 x 上 ∴M（4，1）； （4）不存在 由（3）中所证易知： 假设在双曲线上存在点N， 若△PAN为等腰直角三角形 则：△PAB≌△NAO ∴∠NOA=∠PBA=45° ∴∠NOB=90° 则点N在y轴上， ∴点N不在双曲线上 ∴点N不存在．

据专家权威分析，试题“如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。