题文

如图，直线y=kx+4与函数y= m x （x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点． （1）若△COD的面积是△AOB的面积的 2 倍，求k与m之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2，y1＞y2）， ∵S△COD= 2 S△AOB， ∴S△COD= 2 （S△AOD-S△BOD） ∴ 1 2 ?OC?OD= 2 （ 1 2 ?OD?y1- 1 2 ?OD?y2），OC= 2 （y1-y2），（2分） 又OC=4， ∴（y1-y2）2=8，即（y1+y2）2-4y1y2=8，（3分） 由y= m x 可得x= m y ，代入y=kx+4可得：y2-4y-km=0① ∴y1+y2=4，y1?y2=-km， ∴16+4km=8，即k=- 2 m 又方程①的判别式△=16+4km=8＞0， ∴所求的函数关系式为k=- 2 m （m＞0）；（5分） （2）假设存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0） 则AP⊥BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N ∵∠MAP与∠BPN都与∠APM互余， ∴∠MAP=∠BPN（6分） ∴Rt△MAP∽Rt△NPB， ∴ AM PN = MP NB ∴ y1 x2-2 = 2-x1 y2 ， ∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0， ∴( m y1 -2)( m y2 -2)+y1y2=0， 即m2-2m（y1+y2）+4y1y2+（y1y2）2=0②（8分） 由（1）知：y1+y2=4，y1?y2=2，代入②得：m2-8m+12=0， ∴m=2或6，又k=- 2 m ， ∴ m=2 k=-1 或 m=6 k=- 1 3 ， ∴存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0），且 m=2 k=-1 或 m=6 k=- 1 3 ．（10分）

据专家权威分析，试题“如图，直线y=kx+4与函数y=mx（x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。