如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M、N两点.(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的-数学

题文

如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=
k
x
的图象交于M、N两点.
(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围;
(3)设直线与x轴交于点A,连接OM、ON,求三角形OMN的面积;
(4)在平面直角坐标系中是否存在一点P,使以P,A,O,N为顶点的四边形为
平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)∵N点坐标为:(-1,-4),
∴xy=k=-1×(-4)=4,
∴反比例函数解析式为:y=
4
x

∵M点也在反比例函数图象上,
∴2m=4,
∴m=2,
∴M点坐标为:(2,2),
∵一次函数y=ax+b,

2a+b=2
-a+b=-4

解得:

a=2
b=-2

∴一次函数解析式为:y=2x-2;

(2)根据图象可得出:当0<x<2或x<-1时,反比例函数的值大于一次函数;

(3)∵一次函数解析式为:y=2x-2,
∴y=0时,x=1,
∴AO=1,
三角形OMN的面积为:S△OAM+S△OAN=
1
2
×1×2+
1
2
×1×4=3;

(4)∵AO=1,当AN为对角线,四边形ONP1A为平行四边形,NP1=1,且AO∥NP1
∴P1(0,-4),
当AN为边,四边形OP2NA为平行四边形,NP2=1,且AO∥NP2
∴P2(-2,-4),
当AN为边,四边形OP3AN为平行四边形,AP3=AN=

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,P3到x轴距离为4,到y轴距离为2,且AP3∥ON,
∴P3(2,4),
综上所述:存在,使以P,A,O,N为顶点的四边形为平行四边形,P点坐标为:(0,-4),(-2,-4),(2,4).

据专家权威分析,试题“如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M、N两点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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