题文

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β， （1）若α=110°，则∠A=______． （2）若∠A=30°，则β=______． （3）猜想并证明α与β之间的关系．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵α=110°， ∴∠2+∠4=180°-110°=70°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4）=2×70°=140°， ∴∠A=180°-2（∠2+∠4）=180°-140°=40°． 故答案为：40°． （2）∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°， ∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°， ∵ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β， ∴∠6+∠7= 1 2 （∠DBC+∠ECB）= 1 2 ×220°=110°， ∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-110°=70°． 故答案为：70°． （3）互补． 证明：如图所示： ∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线， ∴∠1=∠2，3=∠4， ∴α=180°-（∠2+∠4）=180°- 1 2 （∠ABC+∠ACB）①； ∵BP，CP是△ABC的外角平分线， ∴∠6+∠7= 1 2 [360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°- 1 2 （∠ABC+∠ACB）， ∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-180°+ 1 2 （∠ABC+∠ACB）= 1 2 （∠ABC+∠ACB）②， ①+②得，α+β=180°， ∴α与β互补．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与..”主要考查你对  三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。