题文

已知反比例函数y= k x 图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线AC经过点A，并且经过反比例函数y= k x 的图象上另一点C（n，- 3 2 ）． （1）反比例函数的解析式为______，m=______，n=______； （2）求直线AC的解析式； （3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵Rt△AOB面积为2， ∴|k|=4， 则反比例函数的解析式是：y=- 4 x ； 把A（-2，m）代入y=- 4 x 得，m=- 4 -2 =2； 把C（n，- 3 2 ）代入y= 4 x 得：- 3 2 =- 4 n ，解得：n= 8 3 ； （2）设直线AC的解析式为y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（ 8 3 ，- 3 2 ） ∵直线AC经过点A、B ∴ -2a+b=2 8 3 a+b=- 3 2 解得 a=- 3 4 b= 1 2 ∴直线AC的解析式y=- 3 4 x+ 1 2 ． （3）答：存在点P使△PAO为等腰三角形； ∵点A（-2，2），AB=|2|=2， ∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA= AB2+OB2 = 22+22 =2 2 ． ①以点O为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P1、P2，P1（0，-2 2 ），P2（0，2 2 ）．（如图1） ②以点A为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P3、另一个交点与点O重合．由勾股定理算得P3（0，4）．（如图1） ③作OA的垂直平分线l交y轴于P4，如图2， ∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P4OA=45° ∵直线l是OA的垂直平分线，∴∠P4KO=90°，OK= 1 2 OA． ∴∠KP4O=45°，OK= 1 2 ×2 2 = 2 ，∠P4OA=∠KP4O，OK=KP4= 2 ． ∴由勾股定理求得OP4=2．点P4（0，2）． 综上可知：满足条件的点P的坐标分别为：P1（0，-2 2 ），P2（0，2 2 ），P3（0，4），P4（0，2）．

据专家权威分析，试题“已知反比例函数y=kx图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，R..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。