题文

如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线y= k x （x＞0）上的一点． （1）求k的值； （2）过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为 1 4 ，试求点P的坐标； （3）分别过双曲线上的两点P1、P2，作P1B1⊥x轴于B1，P2B2⊥x轴于B2，连接OP1、OP2．设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2，内切圆的半径分别为r1、r2，若 l1 l2 =2，试求 r1 r2 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）将A（4，12）代入双曲线y= k x 中，得12= k 4 ，则k=48；（3分） （2）由（1）得双曲线解析式为y= 48 x ，（4分） 设P（m，n），∴n= 48 m ，即mn=48，（5分） 当 OB PB = 1 4 时，即 m n = 1 4 ，可设m=z，n=4z， ∴z?4z=48，解得z=2 3 ， ∴m=2 3 ，n=8 3 ， ∴P（2 3 ，8 3 ），（7分） 当 PB OB = 1 4 时，同理可求得P（8 3 ，2 3 ）；（8分） （3）在Rt△OP1B1中，设OB1=a1，P1B1=b1，OP1=c1， 则P1（a1，b1），由（2）得a1b1=48， 在Rt△OP2B2中，设OB2=a2，P2B2=b2，OP2=c2， 则P2（a2，b2），由（2）得a2b2=48， ∵ 1 2 (a1+b1+c1)?r1= 1 2 a1b1=24 1 2 (a2+b2+c2)?r2= 1 2 a2b2=24（10分） ∴（a1+b1+c1）?r1=（a2+b2+c2）?r2（11分） 即l1?r1=l2?r2，故 l1 l2 = r2 r1 （12分） 又∵ l1 l2 =2，∴ r2 r1 =2，即得： r1 r2 = 1 2 ．（13分）

据专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线y=kx（x＞0）上的..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。