如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2).(1)求d的值;(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反-数学

题文

如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2).
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形?如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)作CN⊥x轴于点N,
∵A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2),
∴OA=2,OB=1,CN=2,
∵∠CAB=90°,即∠CAN+∠BAO=90°,
又∵∠CAN+∠ACN=90°,
∴∠BAO=∠ACN,
在Rt△CNA和Rt△AOB中,

∠ACN=∠BAO
∠ANC=∠BOA=90°
CA=AB

∴Rt△CNA≌Rt△AOB(AAS),
∴NC=OA=2,AN=BO=1,
∴NO=NA+AO=3,又点C在第二象限,
∴d=-3;

(2)设反比例函数为y=
k
x
(k≠0),点C′和B′在该比例函数图象上,
设C′(m,2),则B′(m+3,1),
把点C′和B′的坐标分别代入y=
k
x
,得k=2m;k=m+3,
∴2m=m+3,
解得:m=3,
则k=6,反比例函数解析式为y=
6
x
,点C′(3,2),B′(6,1),
设直线C′B′的解析式为y=ax+b(a≠0),
把C′、B′两点坐标代入得:

3a+b=2
6a+b=1

∴解得:

a=-
1
3
b=3

∴直线C′B′的解析式为y=-
1
3
x+3;


(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形,理由为:
设Q是GC′的中点,令y=-
1
3
x+3中x=0,得到y=3,
∴G(0,3),又C′(3,2),
∴Q(
3
2
5
2
),
过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y=
6
x
的图象交于P′点,
若四边形P′GM′C′是平行四边形,则有P′Q=QM′,
易知点M′的横坐标大于
3
2
,点P′的横坐标小于
3
2

作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,
∵QF∥P′E,
∴∠M′QF=∠QP′E,
在△P′EQ和△QFM′中,

∠P′EQ=∠QFM′
∠QP′E=∠M′QF
P′Q=QM′

∴△P′EQ≌△QFM′(AAS),
∴EQ=FM′,P′Q=QM′,
设EQ=FM′=t,
∴点P′的横坐标x=
3
2
-t,点P′的纵坐标y=2?yQ=5,点M′的坐标是(
3
2
+t,0),
∴P′在反比例函数图象上,即5(
3
2
-t)=6,
解得:t=
3
10

∴P′(
6
5
,5),M′(
9
5
,0),
则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M.

据专家权威分析,试题“如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、B..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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