题文

如图，在直角坐标平面内，函数y= m x （x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵函数y= m x （x＞0，m是常数）图象经过A（1，4）， ∴m=4． ∴y= 4 x ， 设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a， 4 a ），D点的坐标为（0， 4 a ），E点的坐标为（1， 4 a ）， ∵a＞1， ∴DB=a，AE=4- 4 a ． 由△ABD的面积为4，即 1 2 a（4- 4 a ）=4， 得a=3， ∴点B的坐标为（3， 4 3 ）； （2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE=1， ∵a＞1， 易得EC= 4 a ，BE=a-1， ∴ BE DE = a-1 1 =a-1， AE CE = 4- 4 a 4 a =a-1． ∴ BE DE = AE CE 且∠AEB=∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴∠ABE=∠CDE， ∴DC∥AB； （3）∵DC∥AB， ∴当AD=BC时，有两种情况： ①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得， BE DE = AE CE =a-1， ∴a-1=1，得a=2． ∴点B的坐标是（2，2）． 设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入， 得 4=k+b 2=2k+b ， 解得 k=-2 b=6 ． 故直线AB的函数解析式是y=-2x+6． ②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC， ∴a=4， ∴点B的坐标是（4，1）． 设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入， 得 4=k+b 1=4k+b ， 解得 k=-1 b=5 ， 故直线AB的函数解析式是y=-x+5． 综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

据专家权威分析，试题“如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。