题文

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y= 1 2x 的图象在第一限内的一个分支，点P是这条曲线的任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和F． （1）求△OEF的面积（a，b的代数式表示）； （2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请证明；如果不一定相似，请说明理由； （3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的角？若有，请求出其大小；若没有，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1， 点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b）， 当PM、PN与线段AB都相交时，如图1， ∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF = 1 2 ×1×1- 1 2 ×1×(1-a)- 1 2 ×1×(1-b) = a+b-1 2 ， 当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3， ∴S△EOF=S△FOA+S△AOE= 1 2 ×1×b+ 1 2 ×1×（a-1）= a+b-1 2 ， ∴S△EOF=S△FOB+S△BOE= 1 2 ×1×(b-1)+ 1 2 ×1×a= a+b-1 2 ， 即S△EOF= a+b-1 2 ； （2）△AOF和△BEO一定相似． ∵如图1，OA=OB=1， ∴∠OAF=∠EBO， ∴BE=BA-AE= 2 - (1-a)2+(1-a)2 = 2 a， AF=BA-BF= 2 - (1-b)2+(1-b)2 = 2 b， ∵点P是函数y= 1 2x 图象上任意一点， ∴b= 1 2a ，即2ab=1， ∴ 2 a× 2 b=1即，AF?BE=OB?OA， ∴ AF OB = OA BE ， ∴△AOF∽△BEO， ∵对图2，图3同理可证， ∴△AOF∽△BEO； （3）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°， 由（2）知，△AOF∽△BEO， ∴∠AFO=∠BOE， 如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B， 而∠BOE=∠BOF+∠EOF， ∴∠EOF=∠B=45°， 对图2，图3同理可证， ∴∠EOF=45°．

据专家权威分析，试题“如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。