题文

如图，直线y=- 1 5 x+1与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线y= k x 上一点，且△ABC是以AB为底的等腰直角三角形，CD⊥AB于D，M、N分别是AC、BC上的一动点，且∠MDN=90°．下列结论： ①k=-4；②AM=CN；③AM2+BN2=MN2；④MN平分∠CND． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

题型：单选题  难度：中档

答案

在y=- 1 5 x+1中，令x=0，解得：y=1，则A的坐标是（0，1）； 令y=0，解得：x=5，则B的坐标是（5，0）， 则D的坐标是：（ 5 2 ， 1 2 ）， 设直线CD的解析式是y=5x+b，代入（ 5 2 ， 1 2 ）得： 25 2 +b= 1 2 ，解得：b=-12， 则函数的解析式是：y=5x-12， 设C的横坐标是m，则纵坐标是5m-12， 则AC的斜率是： 5m-13 m ，BC的斜率是： 5m-12 m-5 ， 则 5m-13 m ? 5m-12 m-5 =-1， 解得：m=3或2． 则C的坐标是：（3，3）（舍去）或（2，-2）． 把（2，-2）代入y= k x 得：k=-4． 故①正确； 作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F． 则DE⊥DF，且DE=DF， ∴∠DEF=∠MDN， ∴∠EDM=∠FDN， 在△DEM和△DFN中， ∠EDM=∠FDN DE=DF ∠DEM=∠DFN ， ∴△DEM≌△DFN． ∴DM=DM，EM=NF， 又∵等腰直角△ABD中，CD是中线， ∴AE=CE=CF=BF， ∴AM=CN，故②正确； ∵在直角△CMN中，CM2+CN2=MN2， 设AE=CE=CF=BF=x，EM=FN=y， 则MN2=CM2+CN2=（x-y）2+（x+y）2=2（x2+y2）， AM2+BN2=（x+y）2+（x-y）2=2（x2+y2）， 则AM2+BN2=MN2③正确； 当N在B点时，M正好在C点，不会出现MN平分∠CND的情况，故④一定是错误的； 故选A．

据专家权威分析，试题“如图，直线y=-15x+1与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线y=kx上一..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。