题文

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y= 2 x 于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD． （1）求证：AD平分∠CDE； （2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD?BD为定值； （3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）． ∴∠DAC=∠OAB=45° 又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴 ∴∠ACD=∠CDE=90° ∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE． （2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， 同理可得，△BDE是等腰直角三角形， ∴AD= 2 CD，BD= 2 DE． ∴AD?BD=2CD?DE=2×2=4为定值． （3）存在直线AB，使得OBCD为平行四边形． 若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD． 由（1）知AO=BO，AC=CD， 设OB=a（a＞0）， ∴B（0，-a），D（2a，a）， ∵D在y= 2 x 上， ∴2a?a=2， ∴a1=-1（舍去），a2=1， ∴B（0，-1）． 又∵B在y=x+b上， ∴b=-1． 即存在直线：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．

据专家权威分析，试题“如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=2x于点D，过..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。