如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,AC=AB,双曲线y=kx经过C点①求双曲线的解析式;②点P为第四象限双曲线上一点,连接BP,点-数学

题文

如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,AC=AB,双曲线y=
k
x
经过C点
①求双曲线的解析式;
②点P为第四象限双曲线上一点,连接BP,点Q(x、y)为线段AB上一动点,过Q作QD⊥BP,若QD=n,问是否存在一点P使y+n=3?若存在,求直线BP解析式;若不存在,说明理由.
题型:解答题  难度:中档

答案

①过点C作CD⊥x轴于点D.
由y=3x+3得,A(-1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3.
∵∠CAD+∠BAO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CAD=∠AOB.
∵AC=AB,∠CAD=∠AOB=90°,
∴△ADC≌△BOA,
∴CD=OA=1,AD=OB=3,
∴OD=OA+AD=4,
∴C(-4,1),
∴k=xy=(-4)×1=-4,
∴该双曲线的解析式是y=-
4
x


②过点Q作QM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.
∵∠MON=90°,
∴四边形OMQN是矩形,
∴QM=ON.
∵y+n=3,OM=3,
∴ON+QD=OB,
∵ON+BN=OB,
∴QD=BN.
∵∠QNB=∠BDQ=90°,BQ=QB,
∴△BQN≌△QBD,
∴∠BQN=∠QBD,
∵QN∥OA,
∴∠BQN=∠BAO,
∴∠BAO=∠QBD,
∴AE=DE.
设OE=x.则BE=AE=x+1.
在直角△BOE中,由勾股定理,得
32+x2=(x+1)2
解得,x=4,
∴E(4,0).
设直线BP的解析式是:y=kx+b(k≠0)

b=3
4k+b=0

解得

k=-
3
4
b=3

∴y=-
3
4
x+3.

据专家权威分析,试题“如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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