题文

探究性问题： 1 1×2 = 1 1 - 1 2 ， 1 2×3 = 1 2 - 1 3 ， 1 3×4 = 1 3 - 1 4 ，则 1 n(n+1) =______． 试用上面规律解决下面的问题： （1）计算 1 (x+1)(x+2) + 1 (x+2)(x+3) + 1 (x+3)(x+4) ； （2）已知 a-1 +(ab-2)2=0，求 1 ab + 1 (a+1)(b+1) +…+ 1 (a+2010)(b+2010) 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

根据已知的三个等式，总结规律得 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ， （1）原式= 1 (x+1)(x+2) + 1 (x+2)(x+3) + 1 (x+3)(x+4) = 1 x+1 - 1 x+2 + 1 x+2 - 1 x+3 + 1 x+3 - 1 x+4 = 1 x+1 - 1 x+4 = 3 (x+1)(x+4) ； （2）由 a-1 +(ab-2)2=0得：a-1=0且ab-2=0， 解得a=1且ab=2， 所以b=2， 则原式= 1 ab + 1 (a+1)(b+1) +…+ 1 (a+2010)(b+2010) ， = 1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 2011×2012 ， =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2010 - 1 2011 + 1 2011 - 1 2012 =1- 1 2012 = 2011 2012 ． 故答案为： 1 n - 1 n+1 ．

据专家权威分析，试题“探究性问题：11×2=11-12，12×3=12-13，13×4=13-14，则1n(n+1)=___..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。