题文

如图，正比例函数y=2x与反比例函数y= k x (k＞0)的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂足为D，过点C作CB垂直x轴，垂足为B，连接AB和CD．已知点A的横坐标为2． （1）求k的值； （2）求证：四边形ABCD是平行四边形； （3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当x=2时，由y=2x得y=4， ∴k=8（4分） （2）∵A、O、C在一条直线上，A，C在反比例函数和正比例函数的交点处， ∴点A和点C关于点O中心对称， ∴AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（或者解方程组y=2x和y= 8 x ，求得C点的坐标为（-2，-4）也可）（4分） （3）∵以AC为边的四边形是矩形时，点P、Q分别在x轴和y轴上时，此时不可能； ∴只能以AC为矩形的对角线，此时P、Q分别在x轴的正、负半轴上或者在y轴的正、负半轴上． 而AO= 22+42 =2 5 ， ∴以O为圆心，2 5 为半径画圆与坐标轴的交点即为所求的点．P(2 5 ，0)，Q(-2 5 ，0)或者P(0，2 5 )，Q(0，-2 5 )．（4分）

据专家权威分析，试题“如图，正比例函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象相交于A、C两点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。