题文

如图，正比例函数y= 1 2 x与反比例函数y= k x 的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C，且△BOC的面积等于4． （1）求k的值； （2）求A、B两点的坐标； （3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设点B（x，y），则BC=|y|=-y，CO=|x|=-x， ∵B（x，y）在反比例函数y= k x 的图象上， ∴xy=k，因△BOC的面积等于4， 1 2 BC?CO= 1 2 (-x)?(-y)= 1 2 xy=4， ∴k=8； （2）∵k=8，所以反比例函数的解析式为y= 8 x ， 解方程组： y= 1 2 x y= 8 x ，得：x1=4，y1=2；x2=-4，y2=-2， ∴点A（4，2），B（-4，-2）； （3）存在． 当AP⊥x轴时，如图（1）点P（4，0）， 当AP⊥AO时，如图（2）设P（m，0），过点A作AD⊥x轴于D， 由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4， 在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2=20， 在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2=4+（m-4）2， 在Rt△AOP中，PO2=AO2+AP2， 即：20+[4+（m-4）2]=m2，解得m=5， 所以P（5，0）， 综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得△POA为直角三角形．

据专家权威分析，试题“如图，正比例函数y=12x与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，过..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。