题文

如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于点O，训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y= 4 x 上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中档教练船与A、B两船恰好在直线y=x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）． （1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A（______，______）、B（______，______）和C（______，______）； （2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）CE⊥x轴于E，解方程组 y=x y= 4 x 得 x1=2 y1=2 ， x2=-2 y2=-2 ∴A（2，2），B（-2，-2）， 在等边△ABC中可求OA=2 2 ， 则OC= 3 OA=2 6 ， 在Rt△OCE中，OE=CE=OC?sin45°=2 3 ， ∴C（2 3 ，-2 3 ）； （2）作AD⊥x轴于D，连AC、BC和OC， ∵A（2，2）， ∴∠AOD=45°，AO=2 2 ， ∵C在O的东南45°方向上， ∴∠AOC=45°+45°=90°， ∵AO=BO，∴AC=BC， 又∵∠BAC=60°， ∴△ABC为正三角形， ∴AC=BC=AB=2AO=4 2 ， ∴OC= 3 2 ?4 2 =2 6 ， 由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m， 则教练船所用时间为 2 6 3m ，A、B两船所用时间均为 4 2 4m = 2 m ， ∵ 2 6 3m = 24 3m ， 2 m = 18 3m ， ∴ 2 6 3m ＞ 2 m ； ∴教练船没有最先赶到．

据专家权威分析，试题“如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。