题文

如图1，点A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函数y= k x 的图象上，正比例函数y=nx的图象交反比例函数图象于A、C两点． （1）求出k值和线段AC的长． （2）在y轴上是否存在点D，使∠ADC=90°？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，若E（-4，3），点P是线段AC上的一个动点，试判断 50-CP?AP EP2 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵点A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函数y= k x 的图象上， ∴m（m+1）=（m+3）（m-1）， ∴解得：m=3． ∴A（3，4）、B（6，2）． ∴k=m（m+1）=12； 如图1，过A作AM⊥x轴于M， 则OM=3，AM=4， ∴AO=5． 根据反比例函数的对称性，AC=2AO=10； （2）如图1，在y轴的正半轴上取OD=OA=5，连接AD、CD． 则OD=OA=OC． 则∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA． 在△ACD中，有∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°． 即∠OCD+∠ODC+∠OAD+∠ODA=180°． ∴∠ODC+∠ODA=90°， 即∠ADC=90°． ∴D（0，5）． 同理在y轴负半轴上还有点：D′（0，-5）． 另法：如图1，设OD=t，由AD2+CD2=AC2， AE2+ED2+FD2+CF2=AC2， 32+（t-4）2+32+（t+4）2=102， 解得：t=±5． 则D（0，5）或D′（0，-5）． （3） 50-CP?AP EP2 的值不发生变化，理由为： 如图2，连EO，过E作EN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M． ∵E（-4，3），A（3，4）， ∴EO=OA=5，EN=OM=3，NO=AM=4， 在△ENO和△OMA中， ∵ EO=AO EN=OM NO=AM ， ∴△ENO≌△OMA（SSS）， ∴∠EON=∠OAM， ∴∠EON+∠AOM=∠OAM+∠AOM=90°， ∴∠EOA=90°， 设CP=t，则AP=10-t， CP?AP=t（10-t）=10t-t2， 而EP2=OP2+EO2=（5-t）2+52=50-10t+t2． ∴50-CP?AP=50-（10t-t2）=50-10t+t2． ∴50-CP?AP=EP2， ∴ 50-CP?AP EP2 =1， 即 50-CP?AP EP2 的值不发生变化，其值恒为1．

据专家权威分析，试题“如图1，点A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函数y=kx的图象上，正..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。