题文

如图，直线y=3x-3交x轴于B，交y轴于C，以OC为边作正方形OCEF，EF交双曲线y= k x 于点M．且FM=OB． （1）求k的值． （2）请你连OM、OG、GM，并求S△OGM． （3）点P是双曲线上一点，点N为x轴上一点，请探究：是否存在点P、N，使以B、C、P、N为顶点组成平行四边形？若存在，求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵直线y=3x-3交x轴于B，交y轴于C ∴B（1，0），C（0，-3） ∵四边形OCEF是正方形， ∴OF=OC=3， 又∵FM=OB， ∴M（3，-1）， ∵E、F交双曲线y= k x 于点M， ∴k=-3； （2）∵把y=-3代入y=- 3 x 得x=1，即CG=1， ∴GE=2 由（1）知FM=1， ∴ME=2， ∴S△OGM=S正方形OCEF-S△OFM-S△OCG-S△GEM =3×3-3×1÷2-3×1÷2-2×2÷2 =9- 3 2 - 3 2 -2=4； （3）①当以BC为平行四边形一边，点P在第二象限的反比例函数上时，yp=OC=3， ∵yp= -3 xp ， ∴xp=-1， ∴过点P（-1，3）； ∵xP-xN=OB=1， ∴xN=-2， ∴N（-2，0）； ②当以BC为平行四边形一边，点P在第四象限的反比例函数上时， ∵CP∥BN， ∴CP∥x轴， ∴yp=-OC=-3， ∵yp= -3 xp ， ∴xp=1， ∴P（1，-3）， ∴BN=PC=1， ∴N（2，0）． ③∵当以BC为对角线时PN必定与BC互相平分， ∴同时有P、N在BC的两侧， ∴点P在第四象限的反比例函数上， ∴CP∥BN即CP∥x轴，CP=BN且N在点P的左边，由②可知P（1，-3），PC=1， ∴xB-xN=PC=1， ∴xN=0， ∴N（0，0）．

据专家权威分析，试题“如图，直线y=3x-3交x轴于B，交y轴于C，以OC为边作正方形OCEF，EF..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。