已知,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=x+b的图象交于A(-1,b-1)、B(-5,b-5)两点.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)设抛物线y=-x2+b′x+c(-数学

题文

已知,在平面直角坐标系中,反比例函数y=
k
x
(k≠0)的图象与一次函数y=x+b的图象交于A(-1,b-1)、B(-5,b-5)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)设抛物线y=-x2+b′x+c(c>0)的顶点P在直线AB上,且PA:PB=1:3,求抛物线的解析式;
(3)把以上函数图象同步向右平移,使直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2,求平移后的抛物线的解析式.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)把A(-1,b-1)、B(-5,b-5)两点代入y=
k
x
,得:

b-1=-k
b-5=-
k
5

解得:

k=-5
b=6

∴正比例函数解析式为:y=x+6,
反比例函数反比例函数解析式为:y=-
5
x


(2)∵直线AB为y=x+6,且A(-1,5),B(-5,1),
过点A,B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C(-1,1),
则AC=BC=4,
①P点在线段AB上时,作PE∥BC,交AC于E,作PD∥AC交BC于D,

PE
BC
=
PA
AB
PD
AC
=
PB
AB

PA
PB
=
1
3

PA
AB
=
1
4
PB
AB
=
3
4

∴PE=1,PD=3,
∴P(-2,4),
∴抛物线的解析式为:y=-(x-1) 2+4,
即y=-x 2-4x,
此时,c=0,不符合题意,舍去;
②当P点在线段BA的延长线上时,同理可得:P(1,7)
∴抛物线的解析式为:y=-(x-1) 2+7,
即y=-x 2+2x+6,
此时,c=6>0,符合题意,
∴由①、②可知,抛物线的解析式为:y=-x 2+2x+6;

(3)设平移后的直线解析式为:y=x+t,
它交x轴于点(-t,0),交y轴于点(0,t),
∴S=
1
2
×|-t|×|t|=2,
∴t=±2,
∴平移后的直线解析式为:y=x+2或y=x-2,
即图象向右平移了4个单位或8个单位,
此时的抛物线解析式为:y=-(x-1-4)2+7或y=-(x-1-8)2+7,
即y=-x 2+10x-18或y=-x 2+18x-74.

据专家权威分析,试题“已知,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称:求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

  • 反比例函数解析式的确定方法:
    由于在反比例函数关系式 :y= 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定了反比例函数。因此,只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标,代入中即可求出k的值,从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时,应该具体问题具体分析。

    反比例函数的应用:
    建立函数模型,解决实际问题。

  • 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:
    ①设所求的反比例函数为:y= (k≠0);
    ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程;
    ③由代人法解待定系数k的值;
    ④把k值代人函数关系式y= 中。

    反比例函数应用一般步骤:
    ①审题;
    ②求出反比例函数的关系式;
    ③求出问题的答案,作答。

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