题文

已知，在平面直角坐标系中，反比例函数y= k x （k≠0）的图象与一次函数y=x+b的图象交于A（-1，b-1）、B（-5，b-5）两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）设抛物线y=-x2+b′x+c（c＞0）的顶点P在直线AB上，且PA：PB=1：3，求抛物线的解析式； （3）把以上函数图象同步向右平移，使直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，求平移后的抛物线的解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）把A（-1，b-1）、B（-5，b-5）两点代入y= k x ，得： b-1=-k b-5=- k 5 ， 解得： k=-5 b=6 ， ∴正比例函数解析式为：y=x+6， 反比例函数反比例函数解析式为：y=- 5 x ； （2）∵直线AB为y=x+6，且A（-1，5），B（-5，1）， 过点A，B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C（-1，1）， 则AC=BC=4， ①P点在线段AB上时，作PE∥BC，交AC于E，作PD∥AC交BC于D， 则 PE BC = PA AB ， PD AC = PB AB ， ∵ PA PB = 1 3 ， ∴ PA AB = 1 4 ， PB AB = 3 4 ， ∴PE=1，PD=3， ∴P（-2，4）， ∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） 2+4， 即y=-x 2-4x， 此时，c=0，不符合题意，舍去； ②当P点在线段BA的延长线上时，同理可得：P（1，7） ∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） 2+7， 即y=-x 2+2x+6， 此时，c=6＞0，符合题意， ∴由①、②可知，抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+6； （3）设平移后的直线解析式为：y=x+t， 它交x轴于点（-t，0），交y轴于点（0，t）， ∴S△= 1 2 ×|-t|×|t|=2， ∴t=±2， ∴平移后的直线解析式为：y=x+2或y=x-2， 即图象向右平移了4个单位或8个单位， 此时的抛物线解析式为：y=-（x-1-4）2+7或y=-（x-1-8）2+7， 即y=-x 2+10x-18或y=-x 2+18x-74．

据专家权威分析，试题“已知，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。