题文

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y= a x （a≠0，x＞0）分别交于D、E两点． （1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）： ①分别求出直线l与双曲线的解析式； ②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？ （2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①把D（4，1）代入y= a x 得a=1×4=4， 所以反比例函数解析式为y= 4 x （x＞0）； 设直线l的解析式为y=kx+t， 把D（4，1），E（1，4）代入得 4k+t=1 k+t=4 ， 解得 k=-1 t=5 ． 所以直线l的解析式为y=-x+5； ②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x+5-m， 当方程组 y= 4 x y=-x+5-m 只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点， 化为关于x的方程得x2+（m-5）x+4=0， △=（m-5）2-4×4=0，解得m1=1，m2=9， 而m=9时，解得x=-2，故舍去， 所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点； （2）作DF⊥x轴，如图， ∵点D为线段AB的n等分点， ∴DA：AB=1：n， ∵DF∥OB， ∴△ADF∽△ABO， ∴ AF AO = DF BO = AD AB ，即 AF a = DF b = 1 n ， ∴AF= a n ，DF= b n ， ∴OF=a- a n ， ∴D点坐标为（a- a n ， b n ）， 把D（a- a n ， b n ）代入y= a x 得（a- a n ）? b n =a， 解得b= n2 n-1 ．

据专家权威分析，试题“如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=ax（a≠0，..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。